Задача
Пусть точкиA,B,CиDлежат на конике, заданной уравнением второй степениf= 0. Докажите, что
f = $\displaystyle \lambda$lABlCD + $\displaystyle \mu$lBClAD,
где$\lambda$и$\mu$ — некоторые числа.
Решение
Первое решение.ПустьX — точка данной окружности, отличная от точекA,B,CиD. Выберем числа$\lambda_{1}^{}$и$\mu_{1}^{}$так, что
$\displaystyle \lambda_{1}^{}$lAB(X)lCD(X) + $\displaystyle \mu_{1}^{}$lBC(X)lAD(X) = 0,
и рассмотрим кривую, заданную уравнениемf1= 0, гдеf1=$\lambda_{1}^{}$lABlCD+$\mu_{1}^{}$lBClAD. Эта кривая задается
уравнением второй степени и проходит через точкиA,B,C,DиX.
Но если кривая второй степени пересекает окружность в пяти различных точках,
то эта кривая совпадает с окружностью, а значит,f=$\alpha$f1, где$\alpha$ — некоторое число.
Второе решение.Введем косоугольную систему координат с осямиABиAD. Тогда прямыеABиADзадаются уравнениямиy= 0 иx= 0 соответственно, а уравнениеf= 0, задающее окружность, является уравнением второй степени относительноxиy. Ограничения функцийfи$\lambda$lABlCD+$\mu$lBClAD=$\lambda$ylCD+$\mu$xlBCна любую из осей координат являются квадратными трехчленами с двумя общими корнями (AиB, илиAиD). Поэтому числа$\lambda$и$\mu$можно подобрать так, что многочлен
P(x, y) = f (x, y) - $\displaystyle \lambda$ylCD(x, y) - $\displaystyle \mu$xlBC(x, y)
обращается в нуль как приx= 0, так и приy= 0. Это означает, что он делится
наxy, т. е.P(x,y) =qxy, гдеq — константа. В точкеCмногочленPобращается в нуль, аxy$\ne$0. Поэтомуq= 0, т. е.
f = $\displaystyle \lambda$lABlCD + $\displaystyle \mu$lBClAD.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет