Задача
а) Пусть точкиA,B,C,D,EиFлежат на одной конике. Докажите, что тогда прямые Паскаля шестиугольниковABCDEF,ADEBCFиADCFEBпересекаются в одной точке (Штейнер). б) Пусть точкиA,B,C,D,EиFлежат на одной окружности. Докажите, что тогда прямые Паскаля шестиугольниковABFDCE,AEFBDCиABDFECпересекаются в одной точке (Киркман).
Решение
а) Продолжим рассуждения из решение задачи 31.052дальше. Приравнивая (2) и (3), получим, что точки пересечения прямыхAFиBE,EDиCF,ADиBCлежат на прямой$\mu_{2}^{}$lAD=$\mu_{3}^{}$lBC. А приравняв (1) и (3), получим, что точки пересечения прямыхABиCF,CDиBE,ADиEFлежат на прямой$\mu_{1}^{}$lAD=$\mu_{3}^{}$lEF. Легко проверить, что полученные прямые
$\displaystyle \mu_{1}^{}$lBC = $\displaystyle \mu_{2}^{}$lEF, $\displaystyle \mu_{2}^{}$lAD = $\displaystyle \mu_{3}^{}$lBC, $\displaystyle \mu_{1}^{}$lAD = $\displaystyle \mu_{3}^{}$lEF
пересекаются в одной точке. В самом деле, еслиX — точка пересечения
первых двух из этих прямых, то
$\displaystyle \mu_{1}^{}$$\displaystyle \mu_{2}^{}$lBC(X)lAD(X) = $\displaystyle \mu_{2}^{}$$\displaystyle \mu_{3}^{}$lEF(X)lBC(X).
Сократив на$\mu_{2}^{}$lBC(X), получим$\mu_{1}^{}$lAD=$\mu_{3}^{}$lEF(мы не будем
останавливаться на обсуждении вырожденного случая, когда$\mu_{2}^{}$lBC(X) = 0).
б) При доказательстве теоремы Штейнера исходными четырехугольниками былиABCD,AFEDиBEFC. Можно исходить также из четырехугольниковABFE,ABDCиCDFE. Тогда получим теорему Киркмана.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет