Если две точки имеют абсолютные барицентрические координаты($\alpha_{1}^{}$,$\beta_{1}^{}$,$\gamma_{1}^{}$) и($\alpha_{2}^{}$,$\beta_{2}^{}$,$\gamma_{2}^{}$), то середина отрезка с концами в
этих точках имеет абсолютные барицентрические координаты$\left(\vphantom{\frac{\alpha _1+\alpha _2}{2},\frac{\beta _1+\beta _2}{2},\frac{\gamma _1+\gamma _2}{2}}\right.$${\frac{\alpha _1+\alpha _2}{2}}$,${\frac{\beta _1+\beta _2}{2}}$,${\frac{\gamma _1+\gamma _2}{2}}$$\left.\vphantom{\frac{\alpha 1+\alpha 2}{2},\frac{\beta 1+\beta 2}{2},\frac{\gamma 1+\gamma 2}{2}}\right)$.
Поэтому в абсолютных барицентрических координатах симметрия относительно точки($\alpha{0}^{}$,$\beta{0}^{}$,$\gamma{0}^{}$) задаётся формулой
($\displaystyle \alpha$,$\displaystyle \beta$,$\displaystyle \gamma$) $\displaystyle \mapsto$ (2$\displaystyle \alpha{0}^{}$ - $\displaystyle \alpha$, 2$\displaystyle \beta{0}^{}$ - $\displaystyle \beta$, 2$\displaystyle \gamma{0}^{}$ - $\displaystyle \gamma$).
Таким образом, нужно проверить, что если$\alpha$+$\beta$+$\gamma$= 1 иp$\alpha$$\beta$+q$\alpha$$\gamma$+r$\beta$$\gamma$= 0, то
p(2$\displaystyle \alpha_{0}^{}$ - $\displaystyle \alpha$)(2$\displaystyle \beta_{0}^{}$ - $\displaystyle \beta$) + q(2$\displaystyle \alpha_{0}^{}$ - $\displaystyle \alpha$)(2$\displaystyle \gamma_{0}^{}$ - $\displaystyle \gamma$) + r(2$\displaystyle \beta_{0}^{}$ - $\displaystyle \beta$)(2$\displaystyle \gamma_{0}^{}$ - $\displaystyle \gamma$) = 0, 1)
где$\alpha_{0}^{}$=${\frac{r(p+q-r)}{2pq+2pr+2qr-p^2-q^2-r^2}}$и т.д. Равенство (1)
эквивалентно равенству
2p$\displaystyle \alpha_{0}^{}$$\displaystyle \beta_{0}^{}$ + 2q$\displaystyle \alpha_{0}^{}$$\displaystyle \gamma_{0}^{}$ + 2r$\displaystyle \beta_{0}^{}$$\displaystyle \gamma_{0}^{}$ = $\displaystyle \alpha$(p$\displaystyle \beta_{0}^{}$ + q$\displaystyle \gamma_{0}^{}$) + $\displaystyle \beta$(p$\displaystyle \alpha_{0}^{}$ + r$\displaystyle \gamma_{0}^{}$) + $\displaystyle \gamma$(q$\displaystyle \alpha_{0}^{}$ + r$\displaystyle \beta_{0}^{}$).2)
Выражение в левой части равенства (2) равно
$\displaystyle {\frac{2pqr(2pq+2pr+2qr-p^2-q^2-r^2)}{(2pq+2pr+2qr-p^2-q^2-r^2)^2}}$ = $\displaystyle {\frac{2pqr}{2pq+2pr+2qr-p^2-q^2-r^2}}$.
Далее,p$\beta_{0}^{}$+q$\gamma_{0}^{}$=${\frac{2pqr}{2pq+2pr+2qr-p^2-q^2-r^2}}$=p$\alpha_{0}^{}$+r$\gamma_{0}^{}$=q$\alpha_{0}^{}$+r$\beta_{0}^{}$.
А так как$\alpha$+$\beta$+$\gamma$= 1, то выражение в правой части равенства (2) тоже равно${\frac{2pqr}{2pq+2pr+2qr-p^2-q^2-r^2}}$.