Задача
На сколько частей делят плоскость n прямых общего положения, то есть таких, что никакие две не параллельны и никакие три не проходят через одну точку?
Решение
Докажем по индукции, что количество частей равно 1 + ½ n(n + 1). База (n = 1) очевидна.
Шаг индукции. Пусть n > 1. По предположению индукции перед проведением n-й прямой было 1 + ½ (n – 1)n частей. Новая прямая делится точками пересечения со старыми прямыми на n интервалов. Каждый из этих интервалов разбивает одну часть на две. Следовательно, добавится n частей. Поэтому всего частей станет 1 + ½ (n – 1)n + n = 1 + ½ n(n + 1).
Ответ
1 + ½ n(n + 1).
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет