Решение 1:а) Пусть нам из r человек надо выбрать комиссию в составе m человек, а внутри неё – штаб из k человек. Если сначала выбрать членов комиссии, а из них выбирать штаб, то подсчёт числа способов это сделать приведёт по правилу произведения к левой части равенства. Но можно поступить по-другому: сначала выбрать штаб, а потом из оставшихся  r – k  человек выбрать  m – k  "простых" членов комиссии. Тогда подсчёт приведёт к правой части равенства. б) Пусть есть  n + 1  шар: один – чёрный, а остальные – белые. Тогда число способов выбрать  m + 1  белый шар равно     а число способов выбрать m белых и один чёрный шар равно     В сумме получим общее число способов выбрать  m + 1  шар из  n + 1,  то есть   в) Достаточно в г) взять k = m = n. г) Пусть есть набор из m чёрных и n белых шаров. При каждом p от 0 до k число способов выбрать p белых и  k – p  чёрных шаров равно     Складывая, получим общее число способов выбрать k шаров из  m + n,  то есть   д) Пусть есть множество  {a₁, ..., a_n}  из n элементов. Вместо того, чтобы сразу найти число способов выбрать из него k элементов, найдём сначала количество k-элементных множеств, содержащих a₁ (их будет   );  затем не содержащих a₁, но содержащих a₂ (их   )  и так далее. В результате получим правую часть.

Решение 2:а) Найдём двумя способами коэффициент при x^m–ky^k в многочлене  (1 + x + y)^r.  Записав его в виде  (1 + (x + y))^r,  заметим, что он равен коэффициенту при x^m–ky^k в многочлене     то есть      С другой стороны, записав его в виде  ((1 + x) + y)^r,  получим, что он равен коэффициенту при при x^m–ky^k в многочлене     то есть   б) В равенстве  (1 + x)ⁿ⁺¹ = (1 + x)ⁿ(1 + x)  одночлен     в левой части получается как сумма одночленов     и   г) В равенстве  (1 + x)^m+n = (1 + x)ⁿ(1 + x)^m  одночлен     в левой части получается как сумма одночленов   д) Перепишем формулу п. б) в виде     Применяя её последовательно, получим     На последнем шаге надо заметить, что  

Решение 3:б)     – количество путей, ведущих из вершины треугольника Паскаля к числу, стоящему на (m+1)-м месте в (n+1)-й строке. Каждый такой путь проходит либо через m-е, либо через (m+1)-е число m-й строки и в далее за один "ход" попадает в нужное место. Путей второго типа –     а первого –   в)     – количество путей, ведущих из вершины треугольника Паскаля к числу, стоящему на n-м месте в 2n-й строке. Каждый такой путь проходит ровно через одно число n-й строки. При этом количество путей, проходящих через число, стоящее на k-м месте, равно     (к указанной точке ведут     путей, а из неё до нужного места – столько же). г)     – количество путей, ведущих из вершины треугольника Паскаля к числу, стоящему на k-м месте в (m+n)-й строке. Каждый такой путь проходит ровно через одно число n-й строки. При этом количество путей, проходящих через число, стоящее на l-м месте, равно     (к указанной точке ведут     путей, а из неё до нужного места –     путей). д) См. задачу 130713.

Ответ задачи отсутствует