Задача
Натуральные числа p и q взаимно просты. Отрезок [0, 1] разбит на p + q одинаковых отрезков.
Докажите, что в каждом из этих отрезков, кроме двух крайних лежит ровно одно из p + q – 2 чисел 1/p, 2/p, ..., p–1/p, 1/q, 2/q, ..., q–1/q.
Решение
В силу взаимной простоты p и q указанные p + q – 2 числа попарно различны (кроме того, они отличаются и от чисел вида k/p+q). Поэтому они делят отрезок [0, 1] на p + q – 1 отрезок. Достаточно доказать что внутри каждого из этих отрезков есть точка вида k/p+q.
На отрезке вида [m/p, m+1/p] такая точка, очевидно, есть, поскольку его длина больше 1/p+q. Расмотрим отрезок вида [m/p, n/q]. Он содержит точку m+n/p+q, поскольку неравенства m/p < m+n/p+q < n/q эквивалентны неравенству mq < np, то есть неравенству m/p < n/q. Аналогично рассматриваются отрезки вида [a/q, b/p].
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь