а) Первый способ. Пусть  m ≥ n.  Тогда  (a^m – 1, aⁿ – 1) = (a^m – aⁿ, aⁿ – 1) = (a^m–n – 1, aⁿ – 1).  Поэтому алгоритм Евклида для чисел  a^m – 1  и  aⁿ – 1  "идёт параллельно" алгоритму Евклида для показателей m и n. Последний заканчивается на числе  (m, n),  значит, первый – на числе  a^{(m, n)} – 1.  Второй способ. Пусть  (m, n) =d,  (a^m– 1,aⁿ– 1) =D.  Очевидно, числа  a^m– 1  и  aⁿ– 1  делятся на  a^d– 1,  поэтому иDделится на  a^d– 1.   С другой стороны,  d = mu + nv  (гдеu, v– какие-то целые числа, см. задачу160488б или задачу160489). Можно считать, что  u≥ 0, v≥ 0.  Тогда a^d– 1 =a^mu+nv– 1 =a^d(1 –a^–nv) + (a^mu– 1). Первое слагаемое делится на  aⁿ– 1,  второе – на  a^m– 1,  поэтому оба делятся наD. Следовательно, и a^d– 1  делится наD, то есть  a^d– 1 =D.   б) Пусть  m > n.  Тогда  f_n – 2 = 2²ⁿ – 1 = (2^2n–1 – 1)f_n–1 = (2^2n–2 – 1)f_n–2f_n–1 = ... = (2^2m – 1)f_m...f_n–1.  Следовательно,  (f_n, f_m) = (2, f_m) = 1.

Ответ задачи отсутствует