Пусть уравнение  $ax + by = c$  имеет $n$ натуральных решений и $(x_0, y_0)$  – решение уравнения с наименьшим натуральным $x_0$. Тогда  $(x_0+kb, y_0 - ka)$, $k = 1, 2, ..., n - 1$  – тоже натуральные решения.

Значит,  $y_0 > a (n - 1)$, $c - ax_0 = by_0 > (n - 1) \cdot ab$.  Кроме того,  $c - ax_0$  делится на $b$,  поэтому

$c - ax_0 \geqslant (n - 1) \cdot ab + b$,  $c \geqslant (n-1) \cdot ab + ax_0 + b \geqslant (n - 1) \cdot ab + a + b$. Уравнение  $ax + by = (n - 1) \cdot ab + a + b$  действительно имеет ровно $n$ натуральных решений:  $(1 + kb, 1 + (n - k - 1) \cdot a)$,  $k = 0, 1, ..., n - 1$.

  Уравнение  $ax + by = (n + 1) \cdot ab$  тоже имеет ровно $n$ натуральных решений:  $(kb, (n + 1 - k) \cdot a)$,  $k = 1, ..., n$.

При  $c > (n + 1) \cdot ab$  натуральных решений уже больше. Действительно, согласно задаче 160525 уравнение имеет такое решение  $(x_0, y_0)$,  что  $0 \leqslant x_0 < b$,  $y_0 \geqslant 0$.  При этом $$y_0 = \frac{c}{b} - \frac{a}{b} x_0 > (n+1) a - a = na \ge a.$$ Положим $x_1 = x_0$, $y_1 = y_0$ в случае, если $x_0>0$, и $x_1 = x_0+b = b$, $y_1 = y_0 - a$ иначе. Тогда $(x_1, y_1)$ – положительные целые числа, удовлетворяющие уравнению, причём $0 < x_1 \le b$.

Но тогда помимо $x_1, y_1$ решения  $(x_1 + kb, y_1 - ka)$,  $k = 1, 2, ..., n$ также будут натуральными: $$y_1 - n \cdot a = \frac{c}{b} - \frac{a}{b} x_1 - n \cdot a > (n + 1) \cdot a - a - n \cdot a = 0.$$ Таким образом, при $c > (n+1) \cdot ab$ уравнение имеет по крайней мере $n+1$ решение в положительных целых числах.

Ответ задачи отсутствует