Задача
Найдите все значения x, удовлетворяющие неравенству (2 – a)x³ + (1 – 2a)x² – 6x + 5 + 4a – a² < 0 хотя бы при одном значении a из отрезка [–1, 2].
Решение
Будем считать a неизвестным, а x – параметром. Тогда вопрос задачи станет таким:
при каких значениях параметра x трёхчлен fx(a) = a² + (x³ + 2x² – 4)a – 2x³ – x² + 6x – 5 принимает хотя бы одно положительное значение на отрезке
[–1, 2] ?
Очевидно, это происходит тогда и только тогда, когда хотя бы одно из чисел fx(–1) = 6x – 3x³ – 3x², fx(2) = 3x² + 6x – 9 положительно.
fx(–1) > 0 ⇔ x(x – 1)(x + 2) < 0 ⇔ x < –2 или 0 < x < 1.
fx(2) > 0 ⇔ x² + 2x – 3 < 0 ⇔ x < – 3 или x > 1.
Осталось объединить области решений.
Ответ
x < –2, 0 < x < 1, x > 1.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь