(a + b + c)³ – a³ – b³ – c³ = 3(a + b)(a + c)(b + c)  (см задачу 161005 ж). Разложим на множители числитель.    Первый способ. (a + b)⁵ – a⁵ – b⁵ = 5ab(a³ + b³) + 10a²b²(a + b) = 5ab(a + b)(a² + ab + b²). Поэтому

      (a + b + c)⁵ – a⁵ – b⁵ – c⁵ = (a + b + c)⁵ – (a + b)⁵ – c⁵ + (a + b)⁵ – a⁵ – b⁵ =

      = 5c(a + b)(a + b + c)((a + b)² + (a + b)c + c²) + 5ab(a + b)(a² + ab + b²) =

      = 5(a + b)(c(a + b + c)(a² + b² + c² + 2ab + ac + bc) + ab(a² + ab + b²)) =

      = 5(a + b)(c(a + b + c)(a² + b² + c² + ab + ac + bc) + abc(a + b + c) + ab(a² + ab + b²)) =

      = 5(a + b)(a² + b² + c² + ab + ac + bc)·(c(a + b + c) + ab) = 5(a + b)(b + c)(a + c)(a² + b² + c² + ab + ac + bc).    Второй способ. По теореме Безу (см. задачу 160961) многочлен в числителе делится на  a + b,  a + c  и  b + c,  а значит, и на их произведение. В частном должен получиться симметрический многочлен второй степени, то есть вида  p(a² + b² + c²) + q(ab + ac + bc).  Подставляя вместо  (a, b, c)  (1, 1, 0)  и  (2, –1, 0),  найдем, что  p = q = 5.

   (Можно также в равенстве  (a + b + c)⁵ – a⁵ – b⁵ – c⁵ = (a + b)(b + c)(a + c)(p(a² + b² + c²) + q(ab + ac + bc))  сравнить коэффициенты при a⁴b и a³b².)

   Итак,   .