Задача
Докажите, что у многочлена 2Tn(x/2) старший коэффициент равен единице, а все остальные коэффициенты – целые числа.
Здесь Tn – многочлен Чебышёва, смотри задачу 161099.
Решение
Пусть fn(x) = 2Tn(x/2). Докажем наше утверждение по индукции, добавив, что deg fn = n.
База. Согласно задаче 61099 f1(x) = x, f2(x) = 4·x4/4 = x² – 2.
Шаг индукции. Согласно задаче 61100 fn+1(x) = 2Tn+1(x/2) = 2xTn(x/2) – 2Tn–1(x/2) = xfn(x) – fn–1(x). Теперь из предположения индукции следует, что
deg fn+1 = n + 1, все коэффициенты fn+1 – целые, а старший коэффициент fn+1 равен старшему коэффициенту fn, то есть 1.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет