Задача
При каких n многочлен (x + 1)n + xn + 1 делится на:
а) x² + x + 1; б) (x² + x + 1)²; в) (x² + x + 1)³?
Решение
Пусть Q(x) = (x + 1)n + xn + 1, P(x) = x² + x + 1, тогда x + 1 ≡ – x², x³ ≡ 1 (mod P) (сравнение многочленов аналогично сравнению чисел). а) Q(x) ≡ (–1)nx2n + xn + 1 (mod P). Разберём все возможные случаи.
1) n кратно 3. Тогда (–1)nx2n + xn + 1 ≡ (–1)n + 2 (mod P), а этот многочлен на P не делится.
2) n ≡ 1 (mod 6). Тогда (–1)nx2n + xn + 1 ≡ – x² + x + 1 ≡ 2x + 2 (mod P).
3) n ≡ 2 (mod 6). Тогда (–1)nx2n + xn + 1 ≡ x + x² + 1 ≡ 0 (mod P).
4) n ≡ 4 (mod 6). Тогда (–1)nx2n + xn + 1 ≡ x² + x + 1 ≡ 0 (mod P).
5) n ≡ 5 (mod 6). Тогда (–1)nx2n + xn + 1 ≡ – x + x² + 1 ≡ 2x + 2 (mod P).
Таким образом, Q делится на P при n ≡ 2, 4 (mod 6). В частности, n чётно. б) Поскольку комплексные корни многочлена P различны, достаточно проверить, делится ли Q' на P.
Q'(x) = n(x + 1)n–1 + nxn–1 ≡ n(xn–1 – (–1)nx2n–2) ≡ n(xn–1 – x2n–2) (mod P).
При n ≡ 1 (mod 3) xn–1 – x2n–2 ≡ 1 – 1 ≡ 0 (mod P).
При n ≡ 2 (mod 3) xn–1 – x2n–2 ≡ x – x² ≡ 2x + 1 (mod P).
Таким образом, Q делится на P² при n ≡ 4 (mod 6). в) Q" = n(n – 1)((x + 1)n–2 + xn–2) ≡ n(n – 1)(x2n–4 + xn–2) ≡ n(n – 1)(x + x²) ≡ – n(n – 1) (mod P). Поскольку n > 1, то Q никогда не делится на P³.
Ответ
а) n = 6k ± 2; б) n = 6k – 2; в) ни при каких.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь