Заметим, что  8x⁴ – 8x² + 1 = 2(2x² – 1)² – 1.  Сделав замену  x = cos φ,  получим  8 cos φ cos 2φ cos 4φ = – 1.  Домножив на sin φ, получим  sin 8φ = – sin φ,

откуда  8φ = – φ + 2kπ  или  8φ = π + φ + 2kπ,  то есть  x = cos ^2kπ/₉  или  x = cos (^π/₇ + ^2kπ/₇).  На отрезке  [0, 1]  лежат четыре корня уравнения:  cos ^2π/₉, cos ^4π/₉, cos ^π/₇  и  cos ^3π/₇  (корень  x = 1  – посторонний, он возник при умножении на sin φ).

Четыре корня.