Допустим, такой многогранник существует. Выпишем площади его граней в порядке убывания: S₁, S₂, ..., S_n. Тогда

S₂ ≤ ½ S₁,  S₃ ≤ ½ S₂ ≤ ¼ S₁,  ...,  S_n ≤ 2^1–n  и  S₂ + S₃ + ... + S_n < (½ + ¼ + ...) = S₁.

  Спроектируем все грани на плоскость грани площади S₁. Эти проекции покроют её полностьюю Но площадь проекции не превосходит площади самой грани, следовательно,  S₁ ≤ S₂ + S₃ + ... + S_n. Противоречие.

Не существует.