Задача
Через вершину B правильного треугольника ABC проведена прямая l. Окружность ωa с центром Ia касается стороны BC в точке A1 и прямых l и AC. Окружность ωc с центром Ic касается стороны BA в точке C1 и прямых l и AC. Докажите, что ортоцентр треугольника A1BC1 лежит на прямой IaIc.
Решение
Так как ∠BAIc = ∠BCIa = 60°, точки, симметричные Ic и Ia относительно BA и BC соответственно, лежат на прямой AC. С другой стороны,
∠ABIc + ∠CBIa = 60° = ∠ABC, следовательно, прямые, симметричные BIc и BIa относительно AB и BC, пересекают AC в одной и той же точке J (см. рис.). Значит, A1C1 – средняя линия треугольника JIaIc. Тогда высоты треугольника A1BC1, проведённые из вершин A1 и C1, параллельные радиусам IcC1, IaA1 соответственно, тоже являются средними линиями этого треугольника и пересекаются в середине отрезка IaIc.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь