Задача
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность с центром в точке O. Точки E и F – середины не содержащих других вершин дуг AB и CD соответственно. Прямые, проходящие через точки E и F параллельно диагоналям четырёхугольника ABCD, пересекаются в точках K и L. Докажите, что прямая KL содержит точку O.
Решение
Пусть K – точка пересечения прямой, проходящей через E параллельно AC, и прямой, проходящей через F параллельно BD (см. рис.). Заметим, что
∠(KE, EF) = ∠(AC, EF) = ½ (⌣CF + ⌣AE) = ½ (⌣FD + ⌣EB) = ∠(BD, EF) = ∠(KF, EC). Это значит, что треугольник KEF равнобедренный, KE = KF. Значит, параллелограмм EKEL – ромб, и KL – серединный перпендикуляр к EF. Поэтому KL проходит через O.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь