Задача
Докажите, что многочлен P(x) делится на свою производную тогда и только тогда, когда P(x) имеет вид P(x) = an(x – x0)n.
Решение
Если многочлен имеет указанный вид, то утверждение очевидно.
Пусть многочлен P степени n делится на P'. Частное должно иметь первую степень, поэтому из сравнения старших коэффициентов отсюда следует, что nP(x) = (x – x0)P'(x).
Пусть x0 – корень кратности k, то есть P(x) = (x – x0)kQ(x), где Q(x0) ≠ 0. Тогда n(x – x0)kQ(x) = nP(x) = (x – x0)P'(x) = (x – x0)k+1Q'(x) + k(x – x0)kQ(x), то есть nQ(x) = (x – x0)Q'(x) + kQ(x), (n – k)Q(x) = (x – x0)Q'(x). Поскольку Q(x0) ≠ 0, отсюда следует, что k = n.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет