Доказательство неотрицательности сумм квадратных трёхчленов

  Обозначим:  A = f(k₁) + f(k₂) + g(m₁) + g(m₂).   Первый способ. Так как  f(x) = (x – m₁)(x – m₂),  g(x) = (x – k₁)(x – k₂),  то  f(k₁) + f(k₂) = (k₁ – m₁)(k₁ – m₂) + (k₂ – m₁)(k₂ – m₂),

g(m₁) + g(m₂) = (m₁ – k₁)(m₁ – k₂) + (m₂ – k₁)(m₂ – k₂).

  Сгруппировав слагаемые и вынеся общие множители за скобки, получим:

    A = (k₁ – m₁)(k₁ – m₂ – m₁ + k₂) + (k₂ – m₂)(k₁ – m₂ – m₁ + k₂) = (k₁ – m₂ – m₁ + k₂)² ≥ 0.   Второй способ.    

  Аналогично,  g(m₁) + g(m₂) = b² – 2c – pb + 2q.  Следовательно,  A = p² – 2q – bp + 2c + b² – 2c – pb + 2q = p² – 2bp + b² = (p – b)² ≥ 0.

Ответ задачи отсутствует