Решение 1:   Пусть ¹/_m – наибольший член прогрессии. Тогда в прогрессии более m членов (иначе сумма меньше 1). С другой стороны, разность прогрессии

d ≥ ¹/_m – ¹/_m+1 = ¹/_m(m+1),  поэтому членов не более  m + 1.  Итак, число членов равно  m + 1,  а среднее арифметическое всех членов равно  ¹/_m+1.  Поскольку только один член прогрессии больше среднего арифметического, в прогрессии не более трёх членов. Поэтому  m + 1 = 3,  а сама прогрессия –  ¹/₆, ¹/₃, ¹/₂.

Решение 2:   Домножив на НОК знаменателей, получим возрастающую арифметическую прогрессию {a_i} из n натуральных чисел, сумма S которой делится на каждый член. Члены этой прогрессии, очевидно, не имеют общего делителя, значит, её разность d взаимно проста с каждым членом. Разберём два случая.

  1)  n = 2k.  Тогда  S = ⁿ/₂ (a_k + a_k+1) = na_k+1 – kd,  откуда kd, а поэтому и k кратно a_k+1. Но это невозможно, так как  a_k+1 > k.

  2)  n = 2k + 1.  Тогда  S = na_k+1 = na_k + nd,  откуда  n = 2k + 1  кратно a_k. Но поскольку  a_k ≥ k,  это возможно только при  a_k = k = 1.  Отсюда единственный ответ:  ¹/₆, ¹/₃, ¹/₂.

¹/₆, ¹/₃, ¹/₂.