Задача
Найдите все натуральные n, при которых (n + 1)! делится на сумму 1! + ... + n!.
Решение
Пусть n > 2 и (n + 1)! = k(1! + ... + n!). Заметим, что k < n (поскольку n(1! + ... + n!) > n((n – 1)! + n!) = n·(n – 1)! + n·n! = n! + n·n! = (n + 1)! ).
Разделив равенство на k, получим (k – 1)!(k + 1)(k + 2)·...·n = 1! + ... + n!. Однако левая часть в этом равенстве чётна, а правая нечётна. Противоречие.
Ответ
n = 1, 2.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет