Прыжки кузнечика по окружности - минимизация

  1) Поймём, в какие точки кузнечик сможет попасть, если будет двигаться только прыжками длины 57. Пусть изначально он находится в некоторой точке A и прыгает по часовой стрелке. Поскольку  2014 = 35·57 + 19,  то последней точкой, в которую он попадёт перед тем, как перепрыгнуть через A, будет точка B, отстоящая от A на 19 делений (см. рис.). Теперь мы можем считать, что кузнечик прыгает по часовой стрелке (прыжками длины 57), начиная с точки B, то есть последняя точка, в которую он попадёт перед тем, как перепрыгнуть через B, будет точка C, отстоящая от B на 19 делений. Рассуждая аналогично, получим, что кузнечик будет попадать во все точки, отстоящие от A на количество делений, кратное 19 (число 57 также делится на 19, поэтому в часть точек он попадёт раньше). Поскольку 2014 делится на 19, то в какой-то момент он попадёт в точку A, после чего процесс зациклится.

  Итак, двигаясь только прыжками длины 57, кузнечик сможет попасть в те и только в те точки, которые отстоят от стартовой на число делений, кратное 19.   Пронумеруем все точки числами от 1 до 2014 по часовой стрелке. Тогда, если номер стартовой точки даёт остатокdот деления на 19, то прыжками длины 57 кузнечик сможет побывать во всех точках с номерами, дающими тот же остатокd(и только в них).   2) Чтобы попасть в точки с номерами, дающими иной остаток, надо сделать прыжок длины 10. Так как существует ровно 19 остатков от деления на 19, то необходимо сделать не менее восемнадцати прыжков длины 10.   3) Покажем, что восемнадцати прыжков длины 10 хватит. Обозначим через (N) группу чисел от 1 до 2014, дающих при делении на 19 остатокN. Кузнечик может обходить группы, перескакивая с одной на другую прыжками длины 10 следующим образом: