Задача
Биссектрисы AA1 и BB1 треугольника ABC пересекаются в точке I. На отрезках A1I и B1I построены как на основаниях равнобедренные треугольники с вершинами A2 и B2, лежащими на прямой AB. Известно, что прямая CI делит отрезок A2B2 пополам. Верно ли, что треугольник ABC – равнобедренный?
Решение
Покажем, что условию удовлетворяет любой треугольник с углом C, равным 120°. Пусть CC1 – биссектриса угла C. Тогда CA1 – внешняя биссектриса угла ACC1, то есть точка A1 равноудалена от прямых AC и CC1. Но она также равноудалена от прямых AC и AB, поэтому C1A1 – биссектриса угла CC1B.
Значит, точка J, симметричная I относительно C1A1, лежит на прямой AB (см. рис.). Заметим, что
∠AA1C1 = ∠A1C1B – ∠A1AB = ½ (∠CC1B – ∠CAB) = ½ ∠ACC1 = 30°, откуда ∠IA1J = 2∠AA1C1 = 60°. Поскольку в равнобедренном треугольнике IA1J угол равен 60°, он равносторонний, IJ = A1J, и потому A2 совпадает с J. Таким образом, A2C1 = JC1 = IC1. Аналогично, B2C1 = IC1.
Ответ
Неверно.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь