Пусть A₂, B₂, C₂ – проекции точек A₁, B₁, I на гипотенузу AB (см. рис.). Далее можно рассуждать по-разному.   Первый способ. Так как AA₁ – биссектриса, то  AA₂ = AC.  С другой стороны, AC₂ – касательная, проведённая из точки A к вписанной окружности треугольника ABCi, и, значит, отрезок  A₂C₂ = AA₂ – AC₂   равен касательной к этой окружности, проведённой из точки C. Аналогично отрезок B₂C₂ равен той же касательной, то есть C₂ – середина A₂B₂. Значит, прямая C₂I – средняя линия трапеции A₁A₂B₂B₁, то есть пересекает отрезок A₁B₁ в его середине. Так как треугольник CA₁B₁ прямоугольный, эта середина совпадает с центром его описанной окружности.

  Второй способ. Точки C и B₂ симметричны относительно биссектрисы BB₁. Значит,  ∠BB₁C = ∠BB₁B₂,  то есть I – центром вневписанной окружности треугольника AB₁B₂. Следовательно, B₂I – биссектриса прямого угла B₁B₂A₂. Аналогично A₂I – биссектриса прямого угла A₁A₂B₂. Таким образом, треугольник B₂IA₂ – равнобедренный прямоугольный, то есть точка I лежит на серединном перпендикуляре к A₂B₂. Точка O будучи серединой боковой стороны B₁A₁ прямоугольной трапеции B₂B₁A₁A₂ также обладает этим свойством.

Ответ задачи отсутствует