Минимизация сторон треугольника A'B'C' в задаче по планиметрии
Задача
Дан остроугольный треугольник ABC.
Найдите на сторонах BC, CA, AB такие точки A', B', C', чтобы наибольшая сторона треугольника A'B'C' была минимальна.
Решение
Докажем сначала, что искомый треугольник – педальный, то есть перпендикуляры, восставленные из его вершин к соответствующим сторонам ABC, пересекаются в одной точке. Действительно, нетрудно проверить, что для произвольного треугольника A'B'C' описанные окружности треугольников AB'C', BC'A' и CA'B' пересекаются в некоторой точке P. Пусть A", B", C" – проекции P на BC, CA, AB. Так как
∠A'PB' = ∠A"PB" = 180° – ∠C и т.д., то ∠A"PA' = ∠B"PB' = ∠C"PC', и, значит, треугольник A"B"C" получается из A'B'C' поворотной гомотетией с коэффициентом, меньшим 1.
Рассмотрим теперь точку T, педальный треугольник которой правильный, и докажем, что педальный треугольник любой другой точки P имеет хотя бы одну сторону большей длины. Пусть A', B' – проекции P на BC и AC. Тогда A'B' = PC sin C, то есть A'B' не превосходит стороны педального треугольника T тогда и только тогда, когда PC ≤ TC. Аналогично должны выполняться неравенства PB ≤ TB, PA ≤ TA. Очевидно, что три эти неравенства выполнены только для точки T.
Построение точки T описано в задаче 208009.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь