Задача
Продолжения медиан AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC пересекают его описанную окружность в точках A0, B0 и C0 соответственно. Оказалось, что площади треугольников ABC0, AB0C и A0BC равны. Докажите, что треугольник ABC равносторонний.
Решение
Обозначим через M точку пересечения медиан треугольника ABC. Очевидно, SAMB = SAMC; из условия получаем, что
Отсюда C1B1 || C0B0 || BC. Поскольку четырёхугольник BCB0C0 вписан, он является равнобокой трапецией или прямоугольником; в любом случае, BM = MC, то есть треугольник BMC – равнобедренный, и его медиана MA1 является и высотой. Значит, и в треугольнике ABC медиана AA1 является высотой, то есть AB = AC. Равенство AB = BC доказывается аналогично.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь