Задание по олимпиадной математике: Положительные числа в круге
Задача
По кругу записаны 100 целых чисел. Каждое из чисел больше суммы двух чисел, следующих за ним по часовой стрелке.
Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди записанных?
Решение
Оценка. Предположим, что два неотрицательных числа стоят рядом. Тогда число, стоящее перед ними, больше их суммы, то есть положительно. Аналогично, число перед ним также положительно, и т. д. В итоге получаем, что все числа неотрицательны; но тогда наименьшее из них не может быть больше суммы двух следующих – противоречие. Итак, среди каждых двух чисел, стоящих рядом, есть хотя бы одно отрицательное. Значит, положительных чисел не более 50.
Пусть их ровно 50, тогда они чередуются с отрицательными. Рассмотрим три числа – a, b, – c, стоящие подряд (здесь a, b, c > 0). Тогда
– a > b > – c > – c, то есть каждое отрицательное число строго больше следующего за ним отрицательного числа. Поскольку числа стоят по кругу, это невозможно. Стало быть, положительных чисел не более 49.
Пример, в котором ровно 49 положительных чисел: – 200, 1, – 202, 1, – 204, 1, – 206, 1, ..., – 296, 1, – 298, – 99.
Ответ
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь