Предположим, что это возможно. Заметим, что площадь S каждого треугольника разбиения равна    а площадь шестиугольника равна 3S. Каждая сторона прямоугольника разбивается на отрезки длины 1, 2 и , то есть эти стороны равны    и    при целых неотрицательных a, b, c, d. Значит, площадь прямоугольника равна  

  С другой стороны, эта площадь кратна S, что возможно лишь при  ac + 3bd = 0,  откуда  ac = bd = 0.  Отсюда следует, что одна сторона прямоугольника (скажем, вертикальная) – целая, а другая (горизонтальная) – целое кратное. Значит, его площадь кратна 2S. Поскольку площадь шестиугольника равна 3S, число треугольников в разбиениинечётно.   Каждый (непродолжаемый) отрезок разбиения, лежащий внутри прямоугольника, покрыт отрезками целых длин и отрезками длиныс обеих сторон. Поскольку представление его длины в виде    единственно, к нему примыкает чётное число отрезков длины. К вертикальным сторонам прямоугольника таких отрезков не прилегает, а горизонтальные стороны из них состоят, так что к горизонтальным сторонам таких отрезков прилегает поровну. Значит, общее число таких отрезковчётно, а в каждом треугольнике ровно по одному такому отрезку. Противоречие.

Нельзя.