Доказательство корней многочлена P(x) с О. Н. Косухиным

  Для любого натурального  k ≥ 1  положим    По условию P_m(x) имеет действительные корни, причём только положительные.

  Предположим, что P(x) не имеет положительных корней. Тогда  P(x) > 0  при достаточно больших x и не меняет знак при  x > 0,  то есть P переводит положительные числа в положительные. Значит, тем же свойством обладают все многочлены P_k. Это противоречит тому, что у P_m(x) есть положительные корни. Поэтому многочлен P(x) также имеет положительные корни.

  Если  P(0) = 0,  то  P_m(0) = 0.  Значит, 0 не является корнем многочлена P(x).  Предположим, что уP(x) есть и отрицательный, и положительный корни. Докажем по индукции, что тогда при всех натуральныхkмногочленP_k(x) также имеет и отрицательный, и положительный корни.  База. При  k= 1  утверждение верно.  Шаг индукции. Обозначим черезx₁иx₂соответственно наименьший и наибольший корни многочленаP(x), а черезx₃иx₄соответственно наименьший и наибольший корни многочленаP_k(x). Тогда  x₁< 0, x₂> 0, x₃< 0, x₄> 0.  Еслиnнечётно, многочленP(x) принимает все значения от – ∞  до 0 до на луче  (– ∞,x₁].  Значит, на этом луче найдётся такое числоx₅, что  P(x₅) =x₃.  Еслиnчётно, многочленP(x) принимает все значения от 0 до  + ∞  на луче  (– ∞,x₁].  Значит, на этом луче найдётся такое числоx₅, что  P(x₅) =x₄.  В обоих случаях многочленP(x) принимает все значения от 0 до  + ∞  на луче  [x₂, + ∞).  Значит, на этом луче найдётся такое числоx₆, что  P(x₆) =x₄.  Следовательно, в обоих случаях  P_k+1(x₅) =P_k(P(x₅)) = 0  и  P_k+1(x₆) =P_k(P(x₆)) = 0.  При этом  x₅< 0  и  x₆> 0.   Остаётся единственная возможность: многочленP(x) имеет действительные корни, причём только положительные.

Обязательно.