Задачи и олимпиады по математике

Задача

В треугольнике ABC проведена биссектриса BL. На отрезке CL выбрана точка M. Касательная в точке B к описанной окружности Ω треугольника ABC пересекает луч CA в точке P. Касательные в точках B и M к описанной окружности Γ треугольника BLM, пересекаются в точке Q. Докажите, что прямые PQ и BL параллельны.

Решение

Так как BL – биссектриса угла ABC, то ∠ABL = ∠LBC. Поскольку PB – касательная к Ω, то ∠PBA = ∠BCA. Кроме того,

∠PBL = ∠PBA + ∠ABL = ∠BCA + ∠LBC = ∠BLP, значит, ∠BPM = 180° – (∠PBL + ∠BLP) = 180° – 2∠BLP. Отсюда следует, в частности, что угол BLP – острый.

Так как ∠BLM= 180° –BLP> 90°, касательные к Γ в точкахBиMпересекаются в точкеQ, лежащей по ту же сторону отBM, что и точкаL(а значит – по ту же сторону, что иP). Далее имеем ∠QBM= ∠QMB= 180° – ∠BLM= ∠BLP. Значит, ∠BQM= 180° – 2∠QBM= 180° – 2∠BLP= ∠BPM. Поэтому точкиB, M, PиQлежат на одной окружности. Отсюда следует, что ∠QPM= ∠QBM= ∠BLP. Это и означает, что PQ || BL.

Ответ

Ответ задачи отсутствует

Задача

Решение

Ответ

Подтверждение удаления