Заметим, что  d_s+1–i = ^N/_di  при всех  i = 1, 2, 3, ..., s.

  Число  d_i+1 – d_i  делится на  (d_i, d_i+1),  так что  (d_i, d_i+1) ≤ d_i+1 – d_i.  При  i = 1, 2, s – 1  обозначим  r_i = (d_i+1 – d_i) – (d_i, d_i+1) ≥ 0.  По условию

(d₂ – d₁) + (d₃ – d₂) + ... + (d_s – d_s–1) = d_s – d₁ = N – 1,  а  (d₁, d₂) + (d₂, d₃) + ... + (d_s–1, d_s) = N – 2.

  Вычитая, получим  r₁ + r₂ + ... + r_s–1 = 1.  Это означает, что  r_k = 1  для некоторого k, а все остальные r_i равны нулю.

  Левая часть равенства  (d_k+1 – d_k) – (d_k, d_k+1) = 1  делится на  (d_k, d_k+1),  поэтому  (d_k, d_k+1) = 1  и  d_k+1 – d_k = 2.  Это возможно, только если каждое из чисел d_k и d_k+1 нечётно.

  Так как d_k и d_k+1 – два последовательных делителя числа N, то ^N/d_k+1 и ^N/_dk – тоже два последовательных делителя числа N: если  ^N/d_k+1 = d_m,  то

^N/_dk = d_m+1.  При этом  (d_m, d_m+1) = ^N/_[dk,dk+1] = ^N(d_k,d_k+1)/_dkdk+1 < ^{N(d_k+1–d_k)}/_dkdk+1 = d_m+1 – d_m.

  Значит,  r_m > 0,  что возможно лишь при  k = m  (и, следовательно,  s = 2k).

  Итак,  d_k+1 = ^N/_dk,  то есть число  N = d_kd_k+1  нечётно. Но тогда  d_s–1 ≤ ^N/₃,  откуда  (d_s–1, d_s) ≤ d_s–1 ≤ ^N/₃.  Следовательно,  1 ≥ r_s–1 ≥ ^2N/₃ – ^N/₃ = ^N/₃,  то есть  N ≤ 3.  Поскольку  N > 1,  получаем единственно возможное значение  N = 3,  которое, как легко убедиться, удовлетворяет условию.

N = 3.