Задача
Дан кубический многочлен f(x). Назовём циклом такую тройку различных чисел (a, b, c), что f(a) = b, f(b) = c и f(c) = a. Известно, что нашлись восемь циклов (ai, bi, ci), i = 1, 2, ..., 8, в которых участвуют 24 различных числа. Докажите, что среди восьми чисел вида ai + bi + ci есть хотя бы три различных.
Решение
Предположим противное; тогда у каких-то четырёх циклов (ai, bi, ci) суммы чисел одинаковы и равны некоторому s. Для каждого из этих циклов
s = ai + bi + ci = ai + f(ai) + f(f(ai)) = bi + f(bi) + f(f(bi)) = ci + f(ci) + f(f(ci)).
Итак, все 12 чисел наших четырёх циклов – корни многочлена g(x) = x + f(x) + f(f(x)) – s. Однако все эти 12 чисел по условию различны, а степень многочлена g(x) равна 9; значит, у него не может быть больше девяти различных корней. Противоречие.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь