Задача
Дан треугольник ABC и прямая l, пересекающая прямые BC, AC, AB в точках La, Lb, Lc. Перпендикуляр, восставленный из точки La к BC, пересекает AB и AC в точках Ab и Ac соответственно. Точка Oa – центр описанной окружности треугольника AAbAc. Аналогично определим Ob и Oc. Докажите, что Oa, Ob и Oc лежат на одной прямой.
Решение
Пусть Z – произвольная точка прямой AB, X, Y – точки пересечения перпендикуляра, восставленного из точки Z к AB, с BC и CA соответственно, O – центр описанной окружности треугольника CXY. Тогда ∠OCA = 90° – ∠CXY = ∠B, то есть прямая OC касается описанной окружности Ω треугольника ABC. При этом, если Z равномерно движется по AB, то O также движется равномерно, а когда Z совпадает с A или B, то O лежит на касательной в той же точке к Ω. Таким образом, если A'B'C' – треугольник, образованный касательными, то O делит отрезок A'B' в таком же отношении, в каком Z делит AB. Применив это утверждение к точкам Oa, Ob, Oc и воспользовавшись теоремой Менелая, получаем утверждение задачи.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь