а) Обозначим значение этих углов через θ. Из равенства треугольников СC'A₀ и СC'B₀ следует, что угол A₀СC' также равен θ. Аналогично

∠B₀AA' = ∠C₀BB' = θ.  Следовательно,  6θ = 540° – (∠C₀AB + ∠C₀AC + ∠A₀BC + ∠A₀CB + ∠B₀CA + ∠B₀AC).  Но, например,  ∠C₀AB = ∠TAB,  где T – точка касания сферы с гранью ABC. Из этого и пяти аналогичных равенств получаем, что сумма шести углов в скобках равна сумме углов треугольника ABC, то есть  θ = 60°. б) Выше доказано, что  ∠AB₀C = ∠BA₀C = 120°.  Значит, прямые AB₀ и BA₀ пересекают ребро CC' в такой точке K, что  CK = CB₀ = CA₀  (треугольники CB₀K и CA₀K правильные, поскольку у них по два угла равны 60°). Следовательно, точки A, B, A₀, B₀ лежат в одной плоскости, то есть прямые AA₀ и BB₀ пересекаются. Аналогично получаем, что каждая из этих прямых пересекается с прямой CC₀. Поскольку эти три прямые не лежат в одной плоскости, точки пересечения совпадают. в) Из вышеизложенного следует, что  ∠ATB = ∠BTC = ∠CTA = 120°,  то есть T – точка Торричелли треугольника ABC. Рассмотрим вторую сферу, касающуюся плоскостей боковых граней и касающуюся грани ABC с другой стороны в точке T'. Расстояния от T и T' до сторон треугольника ABC относятся как котангенсы и тангенсы половин соответствующих двугранных углов призмы, следовательно, эти точки изогонально сопряжены относительно треугольника ABC. Отсюда получаем, что сфера, вписанная в призму, касается грани A'B'C' в её точке Аполлония (см. здесь). Проекции этой точки, а значит, и центра сферы на прямые A'B', B'C', C'A' образуют правильный треугольник (см. задачу 208009).

а) 60°.