Пусть такой треугольник существует.   Первый способ. Тогда  (x + y)(y + z)(z + x) = x²(y + z) + y²(x + z) + z²(x + y) + 2xyz > x²·x + y²·y + z²·z  согласно неравенству треугольника.   Второй способ.  Отметим точки касания его сторон со вписанной окружностью. Пусть отрезки касательных от вершин до этих точек точек касания равны a, b и c, тогда  x = b + c,  y = a + c  и  z = a + b.  Имеем

(x + y)(y + z)(z + x) = (a + 2b + c)(a + b + 2c)(2a + b + c) = 2(a³ + b³ + c³) + 7(a²b + ab² + a²c + ac² + b²c + bc²) + 16abc,

а  x³ + y³ + z³ = (a + b)³ + (b + c)³ + (c + a)³ = 2(a³ + b³ + c³) + 3(a²b + ab² + a²c + ac² + b²c + bc²),  что, очевидно, меньше. Противоречие.

Не существует.