Задача
Олег нарисовал пустую таблицу 50×50 и написал сверху от каждого столбца и слева от каждой строки по числу. Оказалось, что все 100 написанных чисел различны, причём 50 из них рациональные, а остальные 50 – иррациональные. Затем в каждую клетку таблицы он записал сумму чисел, написанных около её строки и её столбца ("таблица сложения"). Какое наибольшее количество сумм в этой таблице могли оказаться рациональными числами?
Решение
Оценка. Пусть вдоль левой стороны таблицы выписано x иррациональных и
50 – x рациональных чисел. Тогда вдоль верхней стороны выписаны 50 – x иррациональных и x рациональных чисел. Поскольку сумма рационального и иррационального чисел всегда иррациональна, в таблице стоит хотя бы x² + (50 – x)² = 2(x – 25)² + 2·25² ≥ 2·25² = 1250 иррациональных чисел. Значит, рациональных чисел не более 2500 – 1250 = 1250.
Пример, когда рациональных чисел в таблице ровно 1250. Поставим вдоль левой стороны стоят числа 1, 2, ..., 24, 25, 
а вдоль верхней – числа 26, 27, ..., 49, 50, 
Тогда иррациональными будут только 2·25² = 1250 сумм рационального и иррационального чисел.
Ответ
1250 сумм.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь