Задача
Найдите все такие пары натуральных чисел a и k, что для всякого натурального n, взаимно простого c a, число akn+1 – 1 делится на n.
Решение
Если a = 1, то akn+1 – 1 = 0, а значит, делится на n.
Пусть a ≥ 2. Возьмём n = ak – 1, тогда ak ≡ 1 (mod n), и следовательно, 0 ≡akn+1 – 1 ≡ (ak)kn–1·a – 1 ≡ a – 1 (mod ak – 1).
Такое может быть только при k = 1, но в этом случае akn+1 – 1 = a² – 1 должно делиться на все n, что невозможно. Таким образом, пары, в которых a ≥ 2, нам не подходят.
Ответ
a = 1, k – любое натуральное число.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет