Наименьший радиус описанной окружности треугольника

  Пусть K – середина AB и  a ≥ b.  Так как  MK = ½ (a – b),  то по неравенству треугольника  CK ≤ ½ (a – b) + c < ½ (a – b) + b = ½ (a + b) = ½ AB.  Значит, точка C лежит внутри окружности, построенной на AB как на диаметре; следовательно, угол C – тупой.

  Пусть O – центр описанной окружности Ω треугольника ABC. Так как хорда AB фиксирована, то радиус будет наименьшим, когда угол AOB – наибольший. Так как  ∠C = 180° – ½ ∠AOB,  то угол C должен быть наименьшим.

  С другой стороны, точка C лежит на окружности с центром в точке M и радиусом c. Докажем, что угол C будет наименьшим, когда эта окружность касается Ω. Пусть это не так и указанные окружности пересекаются в точках C₁ и C₂ (рис. справа). Тогда, выбрав точку C на меньшей дуге C₁C₂ (вне большой окружности), получим, что  ∠C < ∠AC₁B = ∠AC₂B.  Противоречие.

  Так как окружности касаются, то точкиO, MиCлежат на одной прямой (рис. слева). Обозначим искомый радиус черезR. По теореме о произведении длин отрезков хорд  с(2R – с) =ab,  откуда  R= ½ (^ab/_c+c).

½ (^ab/_c + c).