Назад

Олимпиадная задача: равнобедренный треугольник CDE

Задача 166153 • Сложность: 3 • 8-10 класс
Задача

Неравнобедренный треугольник ABC, в котором  ∠C = 60°,  вписан в окружность Ω. На биссектрисе угла A выбрана точка A', а на биссектрисе угла B – точка B' так, что  AB' || BC  и  B'A || AC.  Прямая A'B' пересекает Ω в точках D и E. Докажите, что треугольник CDE равнобедренный.

Авторы:
Кузнецов А.
Разделы:
Планиметрия
Источники:
Олимпиады и турниры Всероссийская олимпиада по математике 2016-2017 Заключительный этап
Количество версий:
4
Решение

  ∠AB'B = ∠CBB' = ∠ABB',  значит,  AB' = AB.  Аналогично  AB = A'B.  Обозначим  ∠A = 2α,  ∠B = 2β.  Пусть  α > β.

  Обозначим через N середину дуги ACB окружности Ω (см. рис.). Тогда треугольник ABN равносторонний. Поэтому точка A – центр описанной окружности треугольника BNB'. Следовательно,  ∠NAB' = 2∠NBB' = 120° – 2β  и  ∠ANB' = 90° – ½ ∠NAB' = 30° + β.  Аналогично  ∠BNA' = 30° + α,  откуда  ∠B'NA + ∠ANB + ∠BNA' = (30° + β) + 60° + (30° + α) = 180°.  Итак, точка N лежит на прямой A'B'.

  ПустьT– середина меньшей дугиNCокружности Ω. Заметим, что  ∠ANT= ∠ABT= ½ (∠ABN+ ∠B) = 30° + β = ∠ANB'.  Значит, точкаTтакже лежит на прямойA'B', и треугольникCDEсовпадает с треугольникомCNT. Этот треугольник равнобедренный, поскольку  NT = NC.
Ответ

Ответ задачи отсутствует

Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь

Войти Зарегистрироваться
Комментариев нет