Задание по олимпиадной математике и неравенствам

Мы докажем, что существуют даже числа b₁, b₁, ..., b_n, удовлетворяющие следующим (более сильным) условиям:

    1)  b_i ≥ b_i  при всех  i ≤ n;

    2)  b₁b₂…b_n ≤ 2^(n–1)/2a₁a₂...a_n;

    3) отношение любых двух из чисел b_i является степенью двойки (с целым показателем).   Заметим, что доказываемое утверждение не изменится, если какое-то из чисел a_k (а с ним и соответствующее b_k) умножить на некоторую степень двойки. Умножим каждое из чисел b_k на степень двойки так, чтобы все полученные числа лежали в промежутке  [1, 2).

  Не умаляя общности можно считать, что  1 ≤ a₁ ≤ a₂ ≤ ... ≤ a_n < 2.  Покажем, что всем трём условиям удовлетворяет одна из следующих n последовательностей:

    a₁, 2a₁, 2a₁, 2a₁, ..., 2a₁, 2a₁;

    a₂, a₂, 2a₂, 2a₂, ..., 2a₂, 2a₂;

    a₃, a₃, a₃, 2a₃, ..., 2a₃, 2a₃;

      ...

    a_n–1, a_n–1, a_n–1, a_n–1, ..., a_n–1, 2a_n–1;

    a_n, a_n, a_n, a_n, ..., a_n, a_n.

  Поскольку  2a_l ≥ 2 > a_k  для любых k и l, каждая из последовательностей удовлетворяет 1). Кроме того, каждая из последовательностей, очевидно, удовлетворяет 3). Осталось показать, что хотя бы одна из них удовлетворяет 2).

  Для этого заметим, что произведение всех n² чисел во всех n последовательностях равно    Следовательно, произведение чисел хотя бы в одной из последовательностей не превосходит  2^(n–1)/2a₁a₂...a_n.

Ответ задачи отсутствует