Остроконечный треугольник и многочлен
Задача
Пусть P(x) – многочлен степени n ≥ 2 с неотрицательными коэффициентами, а a, b и c – длины сторон некоторого остроугольного треугольника.
Докажите, что числа 
также являются длинами сторон некоторого остроугольного треугольника.
Решение
Пусть, без ограничения общности, a ≥ b ≥ c; эти три положительных числа являются длинами сторон остроугольного треугольника тогда и только тогда, когда a² < b² + c². Поскольку коэффициенты P(x) неотрицательны, P(a) ≥ P(b) ≥ P(c) > 0; значит, надо проверить, что 
Пусть P(x) = pnxn + pn–1xn–1 + ... + p0. Обозначим G(x) = P(x)x–n. Заметим, что G(a) = pn + pn–1a–1 + ... + p0a–n ≤ pn + pn–1b–1 + ... + p0b–n = G(b), аналогично G(a) ≤ G(c). Следовательно, 
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь