Задача
В выпуклом n-угольнике провели несколько диагоналей так, что ни в какой точке внутри многоугольника не пересеклись три или более из них. В результате многоугольник разбился на треугольники. Каково наибольшее возможное число треугольников?
Решение
Пусть n = 2k или 2k + 1.
Пример. Будем диагоналями отсекать от n-угольника четырёхугольники, пока это возможно. Всего получится k – 1 четырёхугольник (и при нечётном n ещё один треугольник). Проведя в каждом четырёхугольнике диагонали, получим 4k – 4 = 2n – 4 треугольника при чётном n и
4k – 3 = 2n – 5 треугольников при нечётном n. Оценка. Никакая диагональ не может пересечь две другие (рассмотрим отрезок диагонали между соседними точками пересечения; с той его стороны, где сумма углов не меньше 180°, к нему примыкал бы не треугольник). Значит, пересекающиеся диагонали делятся на пары пересекающих друг друга. Убрав такие пары, получим разбиение на четырёхугольники и треугольники (соответственноlиmштук). Вычисляя двумя способами сумму углов, получим 2l + m = n– 2. Отсюда число исходных треугольников 4l + m= 2(2l + m) –m= 2n– 4 –m≤ 2n– 4. При нечётномn, однако, иmнечётно, поэтому m≥ 1 и 2n– 4 –m≤ 2n– 5.
Ответ
2n – 4 при чётном n, 2n – 5 при нечётном n.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь