Назад

Олимпиадная задача: Равенство отрезков в прямоугольнике

Задача 166205 • Сложность: 2 • 8-9 класс
Задача

Окружность отсекает от прямоугольника ABCD четыре прямоугольных треугольника, середины гипотенуз которых A0, B0, C0 и D0 соответственно.

Докажите, что отрезки A0C0 и B0D0 равны.

Авторы:
Штейнгарц Л.
Разделы:
Планиметрия
Источники:
Олимпиады и турниры Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина XIII Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2017 г.)
Количество версий:
3
Решение

Пусть окружность пересекает стороны AB, BC, CD, DA в точках K1, K2, L1, L2, M1, M2, N1, N2. Тогда K1K2M2M1 – равнобокая трапеция, то есть

AK1 – DM1 = BK2 – CM2,  или  AK1 + CM2 = BK2 + DM1.  Значит, проекции отрезков A0C0 и B0D0 на AB, равные соответственно

AB – ½ (AK1 + CM2)  и  AB – ½ (BK2 + DM1),  равны между собой. Аналогично равны проекции этих отрезков на BC, а следовательно и сами отрезки.

Ответ

Ответ задачи отсутствует

Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь

Войти Зарегистрироваться
Комментариев нет