Задача
На плоскости отмечено несколько точек, причём не все эти точки лежат на одной прямой. Вокруг каждого треугольника с вершинами в отмеченных точках описана окружность. Могут ли центры всех этих окружностей оказаться отмеченными точками?
Решение
Рассмотрим наименьшую из окружностей ω. Пусть она описана вокруг треугольника ABC, а O – её центр. Если треугольник ABC не равносторонний, то какой-то из его углов, например угол C, меньше 60°. Но тогда ∠C < ∠AOB < 120°, то есть sin∠AOB > sin∠C. По теореме синусов радиус описанной окружности треугольника AOB меньше радиуса ω. Противоречие. Если же треугольникABCправильный, то вместе с точкамиA, B, C, Oотмеченными будут центрыA', B', C'описанных окружностей треугольниковBOC, COA, AOB. Но, например, треугольникAOB'правильный, причём его сторона меньшеAB, а значит, радиус описанной окружности меньше, чем у ω.
Ответ
Не могут.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь