Задание по олимпиадной математике: треугольник ABC и симметрии
Задача
Даны прямоугольный треугольник ABC и две взаимно перпендикулярные прямые x и y, проходящие через вершину прямого угла A. Для точки X, движущейся по прямой x, определим yb как образ прямой y при симметрии относительно XB, а yc – как образ прямой y при симметрии относительно XC. Пусть yb и yс пересекаются в точке Y. Найдите геометрическое место точек Y (для несовпадающих yb и yс).
Решение
Рассмотрим точку X', изогонально сопряженную X, и точки U, V, W, симметричные X' относительно AB, AC, BC. Из перпендикулярности прямых x и y следует, что точки U, V лежат на y. Кроме того, прямые XB, XC являются серединными перпендикулярами к отрезкам UW, VW. Следовательно, W лежит на прямых yb, yc, то есть совпадает с Y (см. рис.). Таким образом, Y лежит на прямой, симметричной относительно BC изогональному образу прямой x. Чтобы получить искомое ГМТ, надо выколоть из этой прямой точки, для которых yb и yc совпадают, то есть точку её пересечения с BC и точку, симметричную A относительно BC.
Ответ
Прямая, симметричная относительно BC изогональному образу прямой x, без двух точек.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь