Доказательство равносторонности треугольника в параллелограмме
Задача
В параллелограмме ABCD провели трисектрисы углов A и B. Трисектрисы, ближние к стороне AB, пересекаются в точке O. Обозначим пересечение трисектрисы AO со второй трисектрисой угла B через A1, а пересечение трисектрисы BO со второй трисектрисой угла A через B1. Пусть M – середина отрезка A1B1, а прямая MO пересекает сторону AB в точке N. Докажите, что треугольник A1B1N – равносторонний.
Решение
Пусть K – точка пересечения дальних трисектрис (см. рис.). Тогда ∠K = 60°, а AA1 и BB1 – биссектрисы треугольника ABK. Так как
∠A1OB1 = 120°, то четырёхугольник A1KB1O – вписанный. Поскольку KO – биссектриса угла K, OA1 = OB1. Следовательно,
∠MOA1 = 60° = ∠A1OB = ∠BON. Отсюда ON = OA1, то есть точки A1, B1 и N лежат на окружности с центром O. Поскольку центральные углы A1OB1, A1ON и B1ON равны, то треугольник A1B1N – равносторонний.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь