Треугольники: задача о срединной линии
Задача
В треугольнике ABC проведены высоты AH1, BH2 и CH3. Точка M – середина отрезка H2H3. Прямая AM пересекает отрезок H2H1 в точке K.
Докажите, что точка K принадлежит средней линии треугольника ABC, параллельной AC.
Решение
Опустим перпендикуляр H3P на прямую AC. Так как треугольник H3PH2 прямоугольный, а M – середина его гипотенузы, то MP = MH2 и
∠MPH2 = ∠MH2A. Как известно, ∠B = ∠H1H2C = ∠H3H2A, значит, MP || KH2. Треугольники AH2H3 и ABC подобны, поэтому
AM : AK = AP : AH = AH3 : AB, откуда H3M || BK (см. рис.). Пусть прямая BK пересекает сторону в точке L. Поскольку прямая AK содержит медиану треугольника AH3H2, то она является медианой треугольника ABL. Это и значит, что K лежит на средней линии, параллельной AC.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь