Радикальная ось встепенном четырехугольнике ABCD

Решение 1:   При инверсии с центром в точке X прямые AC и BD перейдут в окружности ω₁ и ω₂, пересекающиеся в точках X и M', окружность ω – в прямую, касающуюся этих окружностей в точках P', Q' соответственно, а окружность Ω – в прямую, параллельную P'Q', пересекающую ω₁ в точках A', C', и ω₂ – в точках B', D' (см. рис.). Поскольку M лежит на радикальной оси окружностей ω_Q и ω_P, утверждение задачи равносильно тому, что радикальная ось окружностей ω_Q' и ω_P' треугольников A'C'Q' и B'D'P' совпадает с прямой XM'.

  ПустьK– точка пересеченияXM'иA'D'. Так как  A'K·KC' = XK·KM' = B'K'·KD',  точкаKлежит на радикальной оси окружностей ω_Q'и ω_P'. Кроме того, окружность ω_Q'вторично пересекаетP'Q'в точке, симметричнойQ'относительноP', а окружность ω_P'– в точке, симметричнойP'относительноQ'. Поэтому степени лежащей наM'Xсередины отрезкаP'Q'относительно этих окружностей также равны.

Решение 2:   Пусть касательная l в точке X к окружности Ω пересекает AC в точке S, а BD – в точке T. Тогда SM – радикальная ось Ω и ω_Q, ST – радикальная ось Ω и ω. Значит, S – радикальный центр окружностей Ω, ω_Q и ω, то есть SQ – радикальная ось окружностей ω_Q и ω (так как Q лежит на обеих окружностях). Аналогично TP – радикальная ось окружностей ω_P и ω. Следовательно, точка G пересечения SQ и TP – радикальный центр окружностей ω_Q, ω_P и ω. С другой стороны, M – радикальный центр окружностей ω_Q, ω_P и ω, то есть MG – радикальная ось окружностей ω_Q и ω_P. Осталось заметить, что MG проходит через X, так как G – внешняя точка Жергонна треугольника MST.

Ответ задачи отсутствует