Задача
Прямая, параллельная стороне BC треугольника ABC, пересекает стороны AB и AC в точках P и Q соответственно. Внутри треугольника APQ взята точка M. Отрезки MB и MC пересекают отрезок PQ в точках E и F соответственно. Пусть N – вторая точка пересечения описанных окружностей ω1 и ω2 треугольников PMF и QME. Докажите, что точки A, M и N лежат на одной прямой.
Решение
Решение 1:Обозначим через P' и Q' вторые точки пересечения окружности ω1 с AB и окружности ω2 с AC. Тогда ∠MP'A = ∠MFP = ∠MCB, то есть точка P' лежит на описанной окружности Ω треугольника BMC. Аналогично Q' лежит на Ω (см. рис.). Значит, AP' : AQ' = AC : AB = AQ : AP, то есть степени точки A относительно ω1 и ω2 равны. Следовательно, A лежит на радикальной оси MN этих окружностей.
Решение 2:Пусть AM пересекает PQ в точке K, а BC – в точке L. Тогда EK : FK = BL : CL = PK : QK. Следовательно, PK·FK = QK·EK и окружности ω1 и ω2 пересекают AM в одной и той же точке.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь