Назад

Пересечение прямых: олимпийская задача по планиметрии

Задача 166304 • Сложность: 3 • 8-9 класс
Задача

На плоскости даны два правильных тринадцатиугольника A1A2...A13 и B1B2...B13, причём точки B1 и A13 совпадают и лежат на отрезке A1B13, а многоугольники лежат по одну сторону от этого отрезка. Докажите, что прямые A1A9, B13B8 и A8B9 проходят через одну точку.

Авторы:
Бакаев Е. В.
Разделы:
Планиметрия
Источники:
Олимпиады и турниры Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина XIII Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2017 г.)
Количество версий:
5
Решение

  Рассмотрим правильный тринадцатиугольник C1C2...C13, где  C1 = A1,  C13 = B13.  Очевидно, прямые A1A9 и B13B8 совпадают с C1C9 и C13C8 соответственно. Кроме того, поскольку  C1C13 = C8C9,  то C1C8 и C13C9 – основания равнобедренной трапеции. Точки A8 и B9 лежат на этих основаниях, причём по теореме Фалеса  A1A8 : A8C8 = A1A13 : B1B13 = C9B9 : B9B13.  Следовательно, прямая A8B9 проходит через точку пересечения диагоналей трапеции (см. рис.).

Ответ

Ответ задачи отсутствует

Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь

Войти Зарегистрироваться
Комментариев нет