Доказать равенство отрезков в остроугольном треугольнике

Решение 1:   Пусть R – центр внутренней гомотетии окружностей ω и Ω, вписанная окружность треугольника ABC касается AB в точке C₁, вписанная окружность треугольника PQR – в точке C′, окружность Ω – в точке C₂, и пусть C₂C₃ – диаметр Ω. Тогда C, R, C₃ лежат на одной прямой и C, C₁, C₃ лежат на одной прямой (поскольку вписанная и вневписанная окружности гомотетичны относительно C). Аналогично R, C′, C₃ лежат на одной прямой. Значит, C′ совпадает с C₁.

  Как известно, середина отрезка AB совпадает с серединой C₁C₂, то есть с серединой C′C₂, которая, в свою очередь, совпадает с серединой PQ. А это и требовалось.

Решение 2:   Докажем, что утверждение задачи останется верным, если ω – любая окружность с центром на высоте CM. Как и в решении 1 получаем, что точка R пересечения общих внутренних касательных к ω и Ω лежит на прямой CC₁. Таким образом, задачу можно переформулировать следующим образом.   Из произвольной точки R на прямой CC₁ проводятся касательные к вневписанной окружности треугольника, пересекающие AB в точках P и Q.

  Доказать, что эти точки симметричны относительно середины AB.   Можно показать, что соответствие между P и Q сохраняет двойные отношения. Поэтому достаточно найти две пары точек P, Q, симметричных относительно середины AB. При  R = C  точки P, Q совпадают с A, B, а при  R = C₁  – с C₁, C₂. В обоих случаях условие симметричности выполнено.

Ответ задачи отсутствует